Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（

x

+1）=x+2

x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由解析式設(shè)t=

x

+1，解出x和范圍后代入函數(shù)解析式，然后把變量t換成x即可；也可以把等式的右邊配方出現(xiàn)

x

+1和常數(shù)的形式，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）的x范圍分離出a，即a≤

x2-1

x

對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，再把a(bǔ)當(dāng)成變量列出關(guān)于x的不等式求解即可．

解答：解：（1）設(shè)t=

x

+1，則t≥1，且x=（t-1）²，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
∴函數(shù)的解析式是：f（x）=x²-1（x≥1），
另解：f(

x

+1)=(

x

+1)2-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1），
（2）由題意得，x²-1≥ax對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，
又x≥1，∴a≤

x2-1

x

對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，
∴1≤

x2-1

x

，即x²-x-1≥0，
解得x≥

1+ 5

2

或x≤

-1- 5

2

（舍去），
故x的取值范圍是x≥

1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法：配方法和換元法等方法，以及分離參數(shù)法處理恒成立問(wèn)題，運(yùn)用換元法求解函數(shù)解析式時(shí)一定要注意變量的取值范圍，因?yàn)楹雎赃@一點(diǎn)而導(dǎo)致求得的函數(shù)解析式出錯(cuò)．