如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）圓的方程為，曲線的方程為（）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為；（3）證明見(jiàn)解析，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.

解析試題分析：（1）圓的半徑等于圓心到切線的距離，曲線的方程可通過(guò)已知變形得到，條件是，，把已知式平方可得出的方程；（2）從方程可看出，即，因此，我們把方程與曲線方程聯(lián)立方程組可解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到，把中的，用代可得出，從而求出，變形為，易知，故當(dāng)即時(shí)，取得最大值，為了求最大值，也可作變形，應(yīng)用基本不等式基本不等式知識(shí)得出結(jié)論；（3）要證曲線為橢圓，首先找它的對(duì)稱(chēng)軸，從方程中可看出直線是其對(duì)稱(chēng)軸，接著求出曲線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即橢圓的頂點(diǎn)，這樣可求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，根據(jù)公式，求出半焦距，這樣可求出焦點(diǎn)，下面我們只要按照橢圓的定義證明曲線的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，也可求出到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡方程是曲線的方程，這樣就完成了證明. 
試題解析：（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為.                             2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.（未寫(xiě)范圍不扣分） 4分
（2）由得，，
所以，同理.        6分
由題意知 ，所以四邊形的面積.
，
∵ ，∴ .           8分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為.                       &n

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(理)已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線不過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求的數(shù)值；
(3)試問(wèn)：是否存在一個(gè)定圓，與以動(dòng)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓相內(nèi)切？若存在，求出這個(gè)定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，

已知橢圓E:的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線交
橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得四邊形AOBC為平行四邊形?若存在求出的值，若不存在說(shuō)明理
由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求證：不可能為等邊三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且焦距為6，的周長(zhǎng)為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線上的任意一點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離比該點(diǎn)到軸的距離多1．

（1）求的值；
（2）如圖所示，過(guò)定點(diǎn)（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點(diǎn)．
（i）求四邊形面積的最小值；
（ii）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)， 為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．

（1）求軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．

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