Question

從橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線恰好通過橢圓的左焦點F，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB平行于OM，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析：根據(jù)MF₁⊥x軸，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，從而得到比例線段：

MF1

BO

=

OF1

AO

．再根據(jù)點M在橢圓上，求出M的縱坐標，得出MF₁=

b2

a

，再結(jié)合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化簡可得b=c，從而求出橢圓的離心率e．

解答：解：（1）∵MF₁⊥x軸，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO⇒

MF1

BO

=

OF1

AO

…（*）設(shè)點M（-c，y₁），代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得

c2

a2

+

y12

b2

=1，解之得y₁=

b2

a

（舍負），所以MF₁=

b2

a

，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴將AO、BO、MF₁、OF₁的長代入（*）式，得

b2 a

b

=

c

a

，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴離心率e滿足e²=

1

2

，可得e=

2

2

（舍負）
即所求橢圓的離心率為

2

2

．

點評：本題結(jié)合一個特殊的橢圓，以求橢圓的離心率為載體，著重考查了橢圓的基本概念、余弦定理和基本不等式等知識點，屬于中檔題．