Question

已知定點A（1，0）和定圓B：x²+y²+2x-15=0，動圓P和定圓B相切并過A點，
（1）求動圓P的圓心P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)Q是軌跡C上任意一點，求∠AQB的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)動圓P和定圓B相切并過A點，可知|PA|+|PB|=4＞2，所以點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，故可求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4，則，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取“=”，根據(jù)∠AQB∈（0，π），可求∠AQB的最大值．
解答：解：（1）定圓B的圓心坐標(biāo)為（-1，0）
設(shè)P（x，y），則
∵動圓P和定圓B相切并過A點
∴|PA|+|PB|=4＞2，
∴所以點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓
所以點P的軌跡方程是
（2）設(shè)|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4
∴
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取“=”，
∵∠AQB∈（0，π），
∴∠AQB的最大值是
點評：本題考查的重點是點的軌跡方程，考查余弦定理與基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是正確運用橢圓的定義，靈活解題．