Question

13．設(shè)方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q，函數(shù)f （x）=（x+p）（x+q）+2，則f （2），f （0），f （3）的大小關(guān)系為f（3）＞f（2）=f（0）．

Answer 1

分析 把兩個方程分別看作指數(shù)函數(shù)與直線y=-x-2的交點(diǎn)B和對數(shù)函數(shù)與直線y=-x-2的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)分別為p和q，而指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)則關(guān)于y=x對稱，求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)得到p+q=-2；然后把函數(shù)f（x）化簡后得到一個二次函數(shù)，對稱軸為直線x=-$\frac{p+q}{2}$=1，所以得到f（2）=f（0）且根據(jù)二次函數(shù)的增減性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．

解答 解：如圖所示：
，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分別看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，
方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q，
即分別為函數(shù)y=2^x與函數(shù)y=-x-2的交點(diǎn)B橫坐標(biāo)為p；y=log₂^x與y=-x-2的交點(diǎn)C橫坐標(biāo)為q．
由y=2^x與y=log₂^x互為反函數(shù)且關(guān)于y=x對稱，所以BC的中點(diǎn)A一定在直線y=x上，
聯(lián)立得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$，解得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到 $\frac{p+q}{2}$=-1即p+q=-2，
則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2為開口向上的拋物線，
且對稱軸為x=-$\frac{p+q}{2}$=1，
得到f（0）=f（2）且當(dāng)x＞1時，函數(shù)為增函數(shù)，所以f（3）＞f（2），
綜上，f（3）＞f（2）=f（0）
故答案為：f（3）＞f（2）=f（0）．

點(diǎn)評 此題是一道綜合題，考查學(xué)生靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求學(xué)生掌握反函數(shù)的性質(zhì)，會利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實際問題．