Question

3．給出下列結論：
動點M（x，y）分別到兩定點（-3，0）、（3，0）連線的斜率之乘積為$\frac{16}{9}$，設M（x，y）的軌跡為曲線C，F(xiàn)₁、F₂，分別為曲線C的左、右焦點，則下列說法中：
（1）曲線C的焦點坐標為F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）當x＜0時，△F₁MF₂的內切圓圓心在直線x=-3上；
（3）若∠F₁MF₂=90°，則${S_{△{F_1}M{F_2}}}$=32；
（4）設A（6，1），則|MA|+|MF₂|的最小值為2$\sqrt{2}$；
其中正確的序號是：①②．

Answer 1

分析 （1），由曲線C的標準方程可得c=$\sqrt{16+9}$=5；
（2）設A為內切圓與x軸的切點，由于|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，可得|F₂A|=8，|F₁A|=2，解得x_A，即可判斷出；
（3），設|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，由m²+n²=10²，m-n=6，得mn即可；
（4）不妨設點M在雙曲線的右支上，根據(jù)定義可得|MF₁|-|MF₂|=2a=6，可得|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，當A、M、F₁三點共線時，|MA|+|MF₂|的最小值為|AF₁|-6．

解答 解：由題意可得$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x+3}=\frac{16}{9}$，化為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≠±3）．
對于（1），由曲線C的標準方程可得c=$\sqrt{16+9}$=5，∴曲線C的焦點坐標為F₁（-5，0）、F₂（5，0），正確；
對于（2）設A為內切圓與x軸的切點，∵|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，∴|F₂A|=8，|F₁A|=2，∴5-x_A=8，解得x_A=-3．設圓心P，則PO⊥x軸，從而可得圓心在直線x=-3上，因此正確；
對于（3），設|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，∵∠F₁MF₂=90°，∴m²+n²=10²，m-n=6，
∴S${\;}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$mn=16，故錯；
對于（4），不妨設點M在雙曲線的右支上，∵|MF₁|-|MF₂|=2a=6，∴|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，當A、M、F₁三點共線時，|MA|+|MF₂|的最小值為|AF₁|-6=$\sqrt{122}$-6．因此不正確．
綜上可得：正確命題的序號是（1）（2）．
故答案為：（1）（2）．

點評 本題考查了雙曲線的定義標準方程及其性質、三角形的內切圓的性質、斜率計算公式，考查了轉化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．