Question

11．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則給出下列命題：①f（2012）=-2 ②函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=-6 ③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù) ④方程f（x）=0在[-9，9]上有四個根．其中所有正確命題的序號為①②③④．

Answer 1

分析 ①在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=-3，可得f（-3）=0，f（x）是R上的偶函數(shù)，從而可判斷①；
②由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，再利用f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-6-x）=f（-6+x），從而可判斷②；
③依題意知，函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，利用f（x）的周期為6，且f（x）是R上的偶函數(shù)，可判斷函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)，從而可判斷③；
④由題意可知，y=f（x）在[0，9]上有2個零點3和9，從而可判斷④．

解答 解：①：對于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），即f（-3）=0，
又因為f（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（3）=0，
則f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)．
①f（2012）=f（335×6+2）=f（2），
∵f（-4）=-2，
∴f（-4+6）=f（-4）=-2，即f（2）=-2，即f（2012）=-2，正確；
②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期為6，
∴f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
即f（-6-x）=f（-6+x），即直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸，即②正確；
③：當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
則函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，
∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴函數(shù)y=f（x）在[-3，0]上為減函數(shù)
而f（x）的周期為6，
∴函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)，故③正確；
④f（3）=0，f（x）的周期為6，函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，6]上為減函數(shù)，
∴y=f（x）在[0，6]上只有一個零點3，∴f（3+6）=f（9）=0，
則f（-3）=f（3）=0，f（-9）=f（9）=0，
所以，函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有4個零點，故④正確．
故答案為：①②③④

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性及零點的確定的綜合應(yīng)用，屬于難題．