Question

已知sin（

π

4

+2α）•sin（

π

4

-2α）=

1

4

，α∈（

π

4

，

π

2

），求2sin²α+tanα-cotα-1的值．

Answer 1

分析：利用誘導公式和二倍角公式化簡sin（

π

4

+2α）•sin（

π

4

-2α）=

1

4

為cos4α=

1

2

．求出α值，代入化簡2sin²α+tanα-cotα-1后的表達式，求解即可．

解答：解：由sin（

π

4

+2α）•sin（

π

4

-2α）=sin（

π

4

+2α）•cos（

π

4

+2α）=

1

2

sin（

π

2

+4α）=

1

2

cos4α=

1

4

，
得cos4α=

1

2

．
又α∈（

π

4

，

π

2

），所以α=

5π

12

．
于是2sin²α+tanα-cotα-1=-cos2α+

sin2α-cos2α

sinαcosα

=-cos2α+

-2cos2α

sin2α

=-（cos2α+2cot2α）=-（cos

5π

6

+2cot

5π

6

）
=-（-

3

2

-2

3

）=

5

2

3

．

點評：本題考查二倍角的正弦，弦切互化，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．