Question

6．如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，BC與AD的延長線交于點E，點F在BA的延長線上．
（1）若$\frac{EC}{CB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{ED}{DA}$=1，求$\frac{DC}{AB}$的值；
（2）若EF²=FA•FB，證明：EF∥CD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，所以有 $\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{DC}{AB}$，利用比例的性質(zhì)可得 $\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=（$\frac{DC}{AB}$）²，得到 $\frac{DC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（2）根據(jù)題意中的比例中項，可得 $\frac{EF}{FA}$=$\frac{FB}{FE}$，結(jié)合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的結(jié)論∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內(nèi)錯角相等，所以EF∥CD．

解答 解：（1）∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得 $\frac{ED}{EB}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{DC}{AB}$，
∴$\frac{ED}{EB}$•$\frac{EC}{EA}$=（$\frac{DC}{AB}$）²，即 $\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=（$\frac{DC}{AB}$）²
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
證明：（2）∵EF²=FA•FB，
∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{FB}{FE}$，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．

點評 本題在圓內(nèi)接四邊形的條件下，一方面證明兩條直線平行，另一方面求線段的比值．著重考查了圓中的比例線段、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．