Question

15．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1+x}{mx-2m+1}$（a＞0，a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，其定義域?yàn)閰^(qū)間D．
（1）求實(shí)數(shù)m的值及函數(shù)的定義域D；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞log_a$\frac{（x-1）（7-x）}$對(duì)于?x∈[2，6]恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出參數(shù)m的值，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域；
（2）結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類討論，可得滿足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1+x}{mx-2m+1}$（a＞0，a≠1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
則log_a$\frac{1-x}{-mx-2m+1}$+log_a$\frac{1+x}{mx-2m+1}$=log_a（$\frac{1-x}{-mx-2m+1}$•$\frac{1+x}{mx-2m+1}$）=0
即$\frac{1-x}{-mx-2m+1}$•$\frac{1+x}{mx-2m+1}$=1，
即$\frac{1-{x}^{2}}{（2m-1）^{2}-{m}^{2}{x}^{2}}$=1，
即（2m-1）²-m²x²=1-x²，
則$\left\{\begin{array}{l}（2m-1）^{2}=1\\-{m}^{2}=-1\end{array}\right.$，
解得m=1，
此時(shí)f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$滿足是奇函數(shù)，
要使函數(shù)有意義，則$\frac{1+x}{x-1}$＞0，
解得x＜-1，或x＞1，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）∵關(guān)于x的不等式log_a$\frac{1+x}{x-1}$＞log_a$\frac{（x-1）（7-x）}$對(duì)于?x∈[2，6]恒成立，
當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，$\frac{1+x}{x-1}$＜$\frac{（x-1）（7-x）}$對(duì)于?x∈[2，6]恒成立，
即（1+x）（7-x）＜b對(duì)于?x∈[2，6]恒成立，
由y=（1+x）（7-x）的圖象是開口朝上，且以直線x=3為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)x=3時(shí)，y取最大值16，
故b＞16；
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，$\frac{1+x}{x-1}$＞$\frac{（x-1）（7-x）}$對(duì)于?x∈[2，6]恒成立，
即（1+x）（7-x）＞b對(duì)于?x∈[2，6]恒成立，
由y=（1+x）（7-x）的圖象是開口朝上，且以直線x=3為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)x=6時(shí)，y取最小值7，
故b＜7；
綜上所述：當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，b＞16；
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，b＜7；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．