Question

15．為了解某市高三學(xué)生身高情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了測(cè)量，經(jīng)分析，全市高三學(xué)生身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（160，ξ²），已知P（X＜150）=0.2，P（X≥180）=0.03．
（1）現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一位學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間[170，180）的概率；
（2）現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位學(xué)生，記抽到的三位學(xué)生身高在區(qū)間[150，170）的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)身高X服從正態(tài)分布N（160，ξ²），計(jì)算出P（170≤X＜180）的值即可；
（2）求出P（150≤X＜170）的值，由ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.6），求出對(duì)應(yīng)的概率值，得出隨機(jī)變量ξ的分布列，計(jì)算Eξ即可．

解答 解：（1）全市高三學(xué)生身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（160，ξ²），
已知P（X＜150）=0.2，
P（160≤x＜170）=P（150≤X＜160）=0.5-0.2=0.3，
P（X≥180）=0.03；
所以P（170≤X＜180）=0.5-0.3-0.03=0.17；
故從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一位學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間[170，180）的概率為0.17；
（2）P（150≤X＜170）=P（150≤X＜160）+P（160≤X＜170）=0.3+0.3=0.6，
所以ξ服從二項(xiàng)分布B（3，0.6），
P（ξ=0）=（1-0.6）³=0.064，
P（ξ=1）=3×0.6×（1-0.6）²=0.228，
P（ξ=2）=3×0.6²×（1-0.6）=0.432，
P（ξ=3）=0.6³=0.216，
所以隨機(jī)變量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

Eξ=3×0.6=1.8（人）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)就是的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題目．