Question

4．已知在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，SD⊥平面ABCD，P為SB的中點(diǎn)，Q為BD上一動(dòng)點(diǎn)．AD=2，SD=2，∠DAB=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求證：AC⊥PQ；
（Ⅱ）當(dāng)PQ∥平面SAC時(shí)，求四棱錐P-AQCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥平面SBD，即可證明：AC⊥PQ；
（Ⅱ）當(dāng)PQ∥平面SAC時(shí)，設(shè)AC∩BD=O，取BO的中點(diǎn)Q，即可求四棱錐P-AQCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥AC，
∵BD∩SD=D，
∴AC⊥平面SBD，
∵PQ?平面SBD，
∴AC⊥PQ；
（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD=O，取BO的中點(diǎn)Q，
∴PQ∥SO，
∵SO?平面SAC，PQ?平面SAC，
∴PQ∥平面SAC，
連接PO，則PO∥SD，且PO=$\frac{1}{2}$SD=1，PO⊥平面ABCD，
∵S_{四邊形AQCD}=$\frac{3}{4}$S_菱形ABCD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴V_{四棱錐P-AQCD}=$\frac{1}{3}PO•$S_{四邊形AQCD}═$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查四棱錐P-AQCD的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．