Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂•q．
（1）求數(shù)列a_n與b_n的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）分別利用等差數(shù)列的求和公式及等比數(shù)列的通項公式表示已知條件，然后解方程可求等比數(shù)列的公比q，等差數(shù)列的公差d，即可求解
（2）由（1）知：c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．利用錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）設(shè)：{a_n}的公差為d，
因為

b2+S2=12 q= S2 b2

所以

q+6+d=12 q= 6+d q

解得q=3或q=-4（舍），d=3．…..（3分）
故a_n=3n，bn=3n-1…（6分）
（2）由（1）知：c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ．
故：Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
  3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-2Tn=3+32+33+…+3n-n•3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1
∴Tn=

1

4

(2n-1)3n+1+

3

4

…．（12分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式、等比數(shù)列的通項公式及錯位相減求和方法的應(yīng)用．