Question

已知函數(shù)f(x)=cos

x

4

•cos(

π

2

-

x

4

)•cos(π-

x

2

)
（1）將函數(shù)f（x）的解析式化簡；
（2）若將函數(shù)f（x）在（0，+∞）的所有極值點從小到大排成一數(shù)列記為{a_n}，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若令bn=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式及正弦的二倍角公式即可函數(shù)f（x）的解析式化簡；
（2）由（1）知，f′（x）=-

1

4

cosx，由f′（x）=0可求得極值點從小到大依次為：

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，…

(2n-1)π

2

，于是可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由（2）知a_n=

(2n-1)π

2

，利用裂項法可求得b_n=

2

π2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求數(shù)列{b_n}前n項和T_n．

解答：解：（1）f（x）=cos

x

4

sin

x

4

（-cos

x

2

）=-

1

2

sin

x

2

cos

x

2

=-

1

4

sinx．
（2）由（1）知，f′（x）=-

1

4

cosx，
令f′（x）=0得：cosx=0，
∴x=kπ+

π

2

，k∈Z．
又x＞0，
∴極值點從小到大排列依次為：

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，…

(2n-1)π

2

，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=

(2n-1)π

2

．
（3）由（2）知，b_n=

1

(2n-1)π 2 • (2n+1)π 2

=

4

π2

•

1

(2n-1)(2n+1)

=

2

π2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

2

π2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

2

π2

（1-

1

2n+1

）=

4n

π2(2n+1)

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查函數(shù)極值點的應(yīng)用，突出考查數(shù)列的裂項法求和，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．