如圖所示的幾何體中,四邊形

為矩形,

為直角梯形,且

=

= 90°,平面

平面

,

,


(1)若

為

的中點,求證:

平面

;
(2)求平面

與平面

所成銳二面角的大。
(Ⅰ)連結(jié)

,交

與

,連結(jié)

,

中,

分別為兩腰

的中點 , 確定

.
得到

平面

.
(Ⅱ)

,

.
試題分析:(Ⅰ)證明:連結(jié)

,交

與

,連結(jié)

,

中,

分別為兩腰

的中點 , ∴

. 2分
因為

面

,又

面

,所以

平面

. 4分
(Ⅱ)解:設(shè)平面

與

所成銳二面角的大小為

,以

為空間坐標系的原點,分別以

所在直線為

軸建立空間直角坐標系,則

,

.
設(shè)平面

的單位法向量為

則可設(shè)

. 7分

設(shè)面

的法向量

,應有

即:

解得:

,所以

. 10分

,

. 12分
點評:中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,本題利用空間向量簡化了證明過程。
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖是一個直三棱柱(以A
1B
1C
1為底面)被一平面
所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A
1B
1=B
1C
1=l,∠A
lB
lC
1=90°,
AA
l=4,BB
l=2,CC
l=3,且設(shè)點O是AB的中點。

(1)證明:OC∥平面A
1B
1C
1;
(2)求異面直線OC與A
lB
l所成角的正切值。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,側(cè)面ABB
1A
1為矩形,AB=1,AA
1=

,D為AA
1中點,BD與AB
1交于點O,CO丄側(cè)面ABB
1A
1.
(Ⅰ)證明:BC丄AB
1;
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C
1-BD-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在正四棱錐

中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)棱

,

為

的中點,

是側(cè)棱

上的一動點。

(1)證明:

;
(2)當直線

時,求三棱錐

的體積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,D
1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D
1D=

.

(1)求直線D
1B與平面ABCD所成角的大。
(2)求證:AC⊥平面BB
1D
1D.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
如圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,①

平面

;②

平面

;③平面


平面

;④平面


平面

.以上四個命題中,正確命題的序號是
。

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知m、n為兩條不同的直線,

為兩個不同的平面,下列四個命題中,其中正確的命題是
.(填寫正確命題的序號)
①

;②若

;
③

;④

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知三棱錐

的底面

是直角三角形,且

,

平面

,

,

是線段

的中點,如圖所示.

(Ⅰ)證明:

平面

;
(Ⅱ)求三棱錐

的體積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
有以下四個命題: 其中真命題的序號是 ( )
①若

且

,則

;②若

且

,則

;
③若

且

,則

; ④若

且

,則

.

①②

③④

①④

②③
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