Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+5．
（1）是否存在實(shí)數(shù)m₀，使不等式m₀+f（x）＞0對(duì)于任意x∈R恒成立，并說(shuō)明理由；
（2）若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），求出右邊的最大值，即可求得m的范圍；
（2）m-f（x₀）＞0可化為m＞f（x₀），求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），即m＞-x²+4x-5=-（x-2）²-1．
要使m＞-（x-2）²-1對(duì)于任意x∈R恒成立，只需m＞-1即可．
故存在實(shí)數(shù)m，使不等式m+f（x）＞0對(duì)于任意x∈R恒成立，此時(shí)只需m＞-1．
（2）∵m-f（x₀）＞0，∴m＞f（x₀）．
∵f（x₀）=x₀²-4x₀+5=（x₀-2）²+1≥1．
∴m＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．