Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x-3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0，集合N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0
（1）求集合M∩N對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積；
（2）若點(diǎn)P（a，b）∈M∩N，求

b

a-3

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）化簡M={（x，y）|（x+1）²+（y+1）²≤8}，N={（x，y）|（x-y）（x+y+2）≥0}；從而作出平面區(qū)域并求面積；
（2）

b

a-3

的幾何意義是點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（3，0）兩點(diǎn)連線的直線的斜率，從而求出直線l₁與l₂的斜率，從而得到

b

a-3

的取值范圍．

解答： 解：（1）化簡f（x）+f（y）≤0得，
（x+1）²+（y+1）²≤8；
故M={（x，y）|（x+1）²+（y+1）²≤8}；
f（x）-f（y）≥0得，
（x-y）（x+y+2）≥0；
故N={（x，y）|（x-y）（x+y+2）≥0}；
故M∩N的區(qū)域如右圖，
故其面積S=

1

2

•π•8=4π；
（2）

b

a-3

的幾何意義是點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（3，0）兩點(diǎn)連線的直線的斜率，
kl1=

1-0

1-3

=-

1

2

，
設(shè)l₂：y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
則

|-k+1-3k|

1+k2

=2

2

；
解得，k=

2-3 2

4

（舍去）或k=

2+3 2

4

；
故kl2=

2+3 2

4

；
故

b

a-3

的取值范圍為[-

1

2

，

2+3 2

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，注意集合M與集合N的化簡，從而作出平面區(qū)域；同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．