Question

5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$≤n（n≥1，n∈N^*）．

Answer 1

分析 直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟，證明不等式即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，命題成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$≤k成立
當(dāng)n=k+1時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
≤k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$≤k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$=k+1，
當(dāng)n=k+1時命題成立．
由（1）（2）可得，對于任意n≥1，n∈N^*都成立．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明含自然數(shù)n的表達式的證明方法，注意n=k+1的證明時，必須用上假設(shè)．