Question

19．若直線(xiàn)2ax+by-2=0（ab＞0）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值是（　�。�

• A． 1
• B． 5
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由圓的一般式方程可得圓心的坐標(biāo)，又由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可得直線(xiàn)2ax+by-2=0過(guò)圓心（1，2），將圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程可得a+b=1，進(jìn)而分析可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=（2+1+$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$）=3+（$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$），由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，圓x²+y²-2x-4y-6=0的圓心為（1，2），
若直線(xiàn)2ax+by-2=0（ab＞0）平分圓x²+y²-2x-4y-6=0，必有直線(xiàn)2ax+by-2=0過(guò)圓心（1，2），
則有2a+2b-2=0，即a+b=1，
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=（a+b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）=（2+1+$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$）=3+（$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$）≥3+2$\sqrt{\frac{a}×\frac{2b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$；
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b時(shí)等號(hào)成立；
即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及基本不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a、b之間的關(guān)系．