Question

已知函數(shù)(a為實常數(shù)).
(1)若，求證：函數(shù)在(1，+．∞)上是增函數(shù)；
(2)求函數(shù)在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的值；
(3)若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時，，當(dāng)，；
（2）當(dāng)時，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)時，
的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)時，的最小值為，
相應(yīng)的x值為．
（3）。

試題分析：（1）當(dāng)時，，當(dāng)，，
故函數(shù)在上是增函數(shù)．         4分
（2），當(dāng)，．
若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時．                6分
若，當(dāng)時， ；當(dāng)時，，此時
是減函數(shù)； 當(dāng)時，，此時是增函數(shù)．故
．
若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時．    8分
綜上可知，當(dāng)時，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)時，
的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)時，的最小值為，
相應(yīng)的x值為．        10分
（3）不等式，可化為．
∵, ∴且等號不能同時取，所以，即，
因而（）      12分
令（），又，       14分
當(dāng)時，，，
從而（僅當(dāng)x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，
故的最小值為，所以a的取值范圍是．      6分
點評：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，一定要先求函數(shù)的定義域；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，實質(zhì)上就是求導(dǎo)數(shù)大于零或小于零的解集，這樣問題就轉(zhuǎn)化為解不等式的問題，尤其是含參不等式的解法要注意分類討論。二次含參不等式主要討論的地方有：開口方向，兩根的大小和判別式∆。