Question

(本小題滿分12分)已知函數(shù).（）
（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，試問：導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說明理由.
（3）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（4分）（2）導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).（3）.

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240044465691129.png" style="vertical-align:middle;" />，又，  
則  ………   （1分）
因?yàn)閤₁，x₃是方程的兩根，則
，，.即      …… （2分）
從而：，
所以. 
令   解得： … ………          （3分）
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（4分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004446897804.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004446241631.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.       （5分）
于是，，.
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240044470681051.png" style="vertical-align:middle;" />，
則在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).        （6分）
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240044471311066.png" style="vertical-align:middle;" />，
則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn).
故導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).          （8分）
（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則，.
所以.
由已知，，則，即.
所以，即或.               （10分）
又，，所以，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004446397398.png" style="vertical-align:middle;" />，所以. 
綜上分析，的取值范圍是.                          （12分）
點(diǎn)評：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)都是導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，求出結(jié)果要帶回去檢驗(yàn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)與０的大小關(guān)系進(jìn)行確定，導(dǎo)數(shù)大于０，原函數(shù)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于０，則原函數(shù)遞減，特別是函數(shù)含字母時(shí)，要注意字母對解不等式的影響，有時(shí)需要分類討論