Question

關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意易知x=0是方程

|x|

x+4

=kx²的一個(gè)根，化方程

|x|

x+4

=kx²為k=

1

(x+4)|x|

；作函數(shù)f（x）=

1

(x+4)|x|

的圖象，由圖象可知關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4個(gè)不相等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為k大于f（x）在（-4，0）上的最小值，從而利用基本不等式求解．

解答： 解：易知x=0是方程

|x|

x+4

=kx²的一個(gè)根，
當(dāng)x≠0時(shí)，
方程

|x|

x+4

=kx²可化為
k=

1

(x+4)|x|

；
作函數(shù)f（x）=

1

(x+4)|x|

的圖象如下，

則由圖象可知，
關(guān)于x的方程

|x|

x+4

=kx²有4個(gè)不相等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為
k大于f（x）在（-4，0）上的最小值；
當(dāng)x∈（-4，0）時(shí)，
f（x）=

1

(4+x)(-x)

，
∵（4+x）（-x）≤(

4

2

)2=4；
故

1

(4+x)(-x)

≥

1

4

，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)，等號成立）
故k＞

1

4

；
故答案為：（

1

4

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．