Question

1．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），A，B在曲線C上，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A（ρ₁，$\frac{π}{6}$），B（ρ₂，$\frac{π}{2}$）
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的中心為M，求△MAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求出A，B的坐標(biāo)，可得|AB|，設(shè)曲線C的中心為M，求出M到AB的距離，即可求△MAB的面積．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=4+5sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)），得（x-3）²+（y-4）²=25，即x²+y²-6x-8y=0，∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+8sinθ；
（Ⅱ）A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A（ρ₁，$\frac{π}{6}$），B（ρ₂，$\frac{π}{2}$），可得A（4+3$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），B（8，$\frac{π}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（4+3\sqrt{3}）^{2}+64-2（4+3\sqrt{3}）•8•\frac{1}{2}}$=5$\sqrt{3}$
設(shè)曲線C的中心為M，M到AB的距離d=$\sqrt{25-（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴△MAB的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5\sqrt{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．