Question

8．已知a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄并由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*），分別令n=2，3，4，即可得出；
（2）由（1）猜想：${a_n}=\frac{1}{2n}$（n∈N^*）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）因?yàn)閍₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）

所以${a_2}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{1+2×\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4}$，${a_3}=\frac{{\frac{1}{4}}}{{1+2×\frac{1}{4}}}=\frac{1}{6}$，${a_4}=\frac{{\frac{1}{6}}}{{1+2×\frac{1}{6}}}=\frac{1}{8}$
由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}=\frac{1}{2n}$（n∈N^*）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2×1}$，猜想成立
②假設(shè)當(dāng)n=k （k∈N^*，k≥1）時(shí)，猜想成立，即${a_k}=\frac{1}{2k}$
那么a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{{\frac{1}{2k}}}{{1+2\frac{1}{2k}}}=\frac{1}{2k}•\frac{k}{k+1}=\frac{1}{2（k+1）}$．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立；
綜合①②可知，對(duì)?n∈N^*猜想都成立，即${a_n}=\frac{1}{2n}$（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．