Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}$-y²=1（b＞0）有相同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，若P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{a}+{n}^{2}=1}\\{\frac{{m}^{2}}-{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，可以表示△PF₁F₂的面積S，又由橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}$-y²=1（b＞0）有相同的焦點(diǎn)，分析可得a-1=b+1，即b=a-2，代入S中，計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{a}+{n}^{2}=1}\\{\frac{{m}^{2}}-{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解可得$\left\{\begin{array}{l}{m=±\sqrt{\frac{2ab}{a+b}}}\\{n=±\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}}\end{array}\right.$，
橢圓圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1中，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{a-1}$，
△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$×|n|×2$\sqrt{a-1}$=$\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$×$\sqrt{a-1}$，
又由橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}$-y²=1（b＞0）有相同的焦點(diǎn)，
則有a-1=b+1，即b=a-2，
則S=$\sqrt{\frac{2}{2a-2}}$×$\sqrt{a-1}$=1；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，注意兩曲線的焦點(diǎn)相同，構(gòu)造a、b的關(guān)系．