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【題目】已知函數f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(1)若函數f(x)的定義域和值域均為[1,a],求實數a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,2],上是減函數,且對任意的x1 , x2∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求實數a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵函數f(x)=x2﹣2ax+5(a>1),∴f(x)開口向上,對稱軸為x=a>1,

∴f(x)在[1,a]是單調減函數,

∴f(x)的最大值為f(1)=6﹣2a;f(x)的最小值為f(a)=5﹣a2

∴6﹣2a=a,且5﹣a2=1

∴a=2


(2)解:函數f(x)=x2﹣2ax+5=(x﹣a)2+5﹣a2.開口向上,對稱軸為x=a,

∵f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上是減函數,對稱軸大于等于2,

∴a≥2,a+1≥3,

f(x)在(1,a)上為減函數,在(a,a+1)上為增函數,

f(x)在x=a處取得最小值,f(x)min=f(a)=5﹣a2

f(x)在x=1處取得最大值,f(x)max=f(1)=6﹣2a,

∴5﹣a2≤f(x)≤6﹣2a,

∵對任意的x∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,

∴6﹣2a﹣(5﹣a2)≤4,解得:﹣1≤a≤3;

綜上:2≤a≤3


【解析】(1)確定函數的對稱軸,從而可得函數的單調性,利用f(x)的定義域和值域均是[1,a],建立方程,即可求實數a的值.(2)可以根據函數f(x)=x2﹣2ax+5=(x﹣a)2+5﹣a2 . 開口向上,對稱軸為x=a,可以推出a的范圍,利用函數的圖象求出[1,a+1]上的最值問題,對任意的x∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,從而求出實數a的取值范圍.
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質,需要了解當時,拋物線開口向上,函數在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數在上遞增,在上遞減才能得出正確答案.

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