【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|﹣ +a,x∈[1,6],a∈R.
(1)若a=1,試判斷并證明函數(shù)f(x)的單調性;
(2)當a∈(1,6)時,求函數(shù)f(x)的最大值的表達式M(a).

【答案】
(1)

解:∵a=1,x∈∈[1,6],

∴f(x)=|x﹣1|﹣ +1=x﹣ ,

∴f′(x)=1+ >0,

∴f(x)是增函數(shù);


(2)

解:因為1<a<6,所以f(x)= ,

①當1<a≤3時,f(x)在[1,a]上是增函數(shù),在[a,6]上也是增函數(shù),

所以當x=6時,f(x)取得最大值為

②當3<a<6時,f(x)在[1,3]上是增函數(shù),在[3,a]上是減函數(shù),在[a,6]上是增函數(shù),

而f(3)=2a﹣6,f(6)=

當3<a≤ 時,2a﹣6≤ ,當x=6時,f(x)取得最大值為

≤a<6時,2a﹣6> ,當x=3時,f(x)取得最大值為2a﹣6.

綜上得,M(a)=


【解析】(1)可求得f(x)=x﹣ ,利用f′(x)>0即可判斷其單調性;(2)由于1<a<6,可將f(x)化為f(x)= ,分1<a≤3與3<a<6討論函數(shù)的單調性,從而求得函數(shù)f(x)的最大值的表達式M(a).
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義,掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(。┲导纯梢越獯鸫祟}.

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空氣質量指數(shù)

空氣質量等級

級優(yōu)

級良

級輕度污染

級中度污染

級重度污染

級嚴重污染

該社團將該校區(qū)在天的空氣質量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計為概率

請估算年(以天計算)全年空氣質量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計算);

)該校、日將作為高考考場,若這兩天中某天出現(xiàn)級重度污染,需要凈化空氣費用元,出現(xiàn)級嚴重污染,需要凈化空氣費用元,記這兩天凈化空氣總費用為元,求的分布列及數(shù)學期望

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