【題目】已知函數(shù)f(x)=lg ,f(1)=0,且f(2)﹣f( )=lg2.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若x∈(0,+∞)時(shí)方程f(x)=lgt有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=f(x)﹣lg(8x+m)的無零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵且f(2)﹣f( )=lg2,即x>0時(shí),f(x)﹣f( )=lgx.
lg ﹣lg =lgx,
即lg﹣lg=lgx,
即lg( )=lgx, =x.
整理得(a﹣b)x2﹣(a﹣b)x=0恒成立,
∴a=b,
又f(1)=0,
即a+b=2,從而a=b=1.
∴f(x)=lg ,
∵ >0,
∴x<﹣1,或x>0,
∴f(x)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?)∪(0,+∞)
(2)解:方程f(x)=lgt有解,
即lg =lgt,
∴t= ,
∴x(2﹣t)=t,
∴x= ,
∴ <﹣1,或 >0,
解得t>2,或0<t<2,
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍(0,2)∪(2,+∞)
(3)解:函數(shù)y=f(x)﹣lg(8x+m)的無零點(diǎn)即方程f(x)=lg(8x+m)的解集為,
∴l(xiāng)g =lg(8x+m),
∴ =8x+m,
∴8x2+(6+m)x+m=0,
方程的解集為,故有兩種情況:
①方程8x2+(6+m)x+m=0無解,即△<0,得2<m<18,
②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,兩根均在[﹣1,0]內(nèi),g(x)=8x2+(6+m)x+m,
則 ,解得:0≤m≤2,
綜合①②得實(shí)數(shù)m的取值范圍是0≤m<18
【解析】(1)由已知中函數(shù),以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a,b方程組,解方程組求出a,b值,進(jìn)而得到f(x)的表達(dá)式;(2)由(1)中函數(shù)f(x)的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程,分離參數(shù),根據(jù)f(x)的定義域即可求出;(3)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可將方程f(x)=lg(8x+m),轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的分式方程組,進(jìn)而根據(jù)方程f(x)=lg(8x+m)的解集為,則方程組至少一個(gè)方程無解,或兩個(gè)方程的解集的交集為空集,分類討論后,即可得到答案.
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【題目】設(shè)橢圓過點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】如圖是2017年第一季度五省情況圖,則下列陳述正確的是( )
①2017年第一季度 總量和增速均居同一位的省只有1個(gè);
②與去年同期相比,2017年第一季度五個(gè)省的總量均實(shí)現(xiàn)了增長;
③去年同期的總量前三位是江蘇、山東、浙江;
④2016年同期浙江的總量也是第三位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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【題目】已知橢圓(),的兩個(gè)焦點(diǎn), ,點(diǎn)在此橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),記直線的斜率分別為,求證: 為定值.
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【題目】在四棱錐中,平面平面,側(cè)面是邊長為的等邊三角形,底面是矩形,且,則該四棱錐外接球的表面積等于__________.
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【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)若討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的兩條不同切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)f(x)= x+m在區(qū)間 上的最小值為3,求常數(shù)m的值及此函數(shù)當(dāng)x∈[a,a+π](其中a可取任意實(shí)數(shù))時(shí)的最大值.
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【題目】設(shè){an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列 的前n項(xiàng)和,求Tn .
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【題目】某校高三年級(jí)共有學(xué)生195人,其中女生105人,男生90人.現(xiàn)采用按性別分層抽樣的方法,從中抽取13人進(jìn)行問卷調(diào)查.設(shè)其中某項(xiàng)問題的選擇分別為“同意”、“不同意”兩種,且每人都做了一種選擇.下面表格中提供了被調(diào)查人答卷情況的部分信息.
同意 | 不同意 | 合計(jì) | |
女學(xué)生 | 4 | ||
男學(xué)生 | 2 |
(Ⅰ)完成上述統(tǒng)計(jì)表;
(Ⅱ)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)估計(jì)高三年級(jí)學(xué)生該項(xiàng)問題選擇“同意”的人數(shù);
(Ⅲ) 從被抽取的女生中隨機(jī)選取2人進(jìn)行訪談,求選取的2名女生中至少有一人選擇“同意”的概率.
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