Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=lg$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，化為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）b_n=lg$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=lgn-lg（n+2），利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1•a_n=a_n-a_n+1，
化為：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
解得a_n=$\frac{1}{n}$．
（II）b_n=lg$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=lgn-lg（n+2），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=（lg1-lg3）+（lg2-lg4）+（lg3-lg5）+…+[lg（n-1）-lg（n+1）]+[lgn-lg（n+2）]
=lg1+lg2-lg（n+1）-lg（n+2）
=lg2-lg[（n+1）（n+2）]．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．