Question

已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn) 處的切線方程為

(1)求的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出在區(qū)間[－2,4]上的最大值．

 

Answer 1

【答案】

(1) a＝1，b＝. (2)8.

【解析】

試題分析：(1)f′(x)＝x²－2ax＋a²－1，       2分

∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，  3分

∵(1,2)在y＝f(x)的圖象上，∴2＝－a＋a²－1＋b，

又f′(1)＝－1，∴a²－2a＋1＝0，

解得a＝1，b＝.              6分

(2)∵f(x)＝x³－x²＋，∴f′(x)＝x²－2x，

由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的極值點(diǎn)，所以有

x	(－∞，0)	0	(0,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

                              8分

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)和(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)．    10分

∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，

∴在區(qū)間[－2,4]上的最大值為8.               13分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。

點(diǎn)評(píng)：我們要靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，尤其要注意切點(diǎn)這個(gè)特殊點(diǎn)，充分利用切點(diǎn)即在曲線方程上，又在切線方程上，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率這些條件列出方程組求解。屬于基礎(chǔ)題。