Question

18．現(xiàn)要制作一個圓錐形漏斗，其母線長為t，要使其體積最大，其高為（　�。�

• A． .$\frac{1}{3}{t^2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}t$．
• C． .$\frac{{\sqrt{2}}}{3}t$．
• D． .$\frac{1}{2}t$

Answer 1

分析 設(shè)圓錐形漏斗的高為h，我們可以表示出底面半徑r，進(jìn)而得到圓錐體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，易得到體積取最大值時，高h(yuǎn)與母線l之間的關(guān)系．

解答 解：設(shè)圓錐形漏斗的高為h，則圓錐的底面半徑為$\sqrt{{t}^{2}-{h}^{2}}$，（0＜h＜t）
則圓錐的體積V=$\frac{1}{3}$•π（t²-h²）•h=-$\frac{π}{3}$h³+$\frac{π{t}^{2}}{3}$h
則V′=-πh²+$\frac{π{t}^{2}}{3}$，
令V′=0
則h=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$t
∵0＜h＜t
∴當(dāng)高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t時，圓錐的體積取最大值，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是圓錐的體積，函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)法在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，其中設(shè)出漏斗的高為h，表示出底面半徑r，進(jìn)而得到圓錐體積的表達(dá)式，建立函數(shù)數(shù)學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵．