Question

18．已知雙曲線 C₁：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（ a＞0，b＞0），圓 C₂：x²+y²-2ax+$\frac{3}{4}$a²=0，若雙曲線C₁ 的一條漸近線與圓 C₂ 有兩個不同的交點，則雙曲線 C₁ 的離心率的范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）
• B． （$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，+∞）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由圓的方程求得圓心及半徑，利用點到直線的距離公式，求得圓心到漸近線的距離小于半徑，求得a和c關系，利用離心率公式即可求得雙曲線C₁的離心率的范圍．

解答 解：雙曲線 C₁：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（ a＞0，b＞0），漸近線方程y=±$\frac{a}$x，即bx±ay=0，
圓 C₂：x²+y²-2ax+$\frac{3}{4}$a²=0，（x-a）²+y²=$\frac{1}{4}{a}^{2}$，圓心（a，0），半徑$\frac{1}{2}$a，
由雙曲線C₁ 的一條漸近線與圓 C₂ 有兩個不同的交點，
則$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＜$\frac{1}{2}$a，即c＞2b，
則c²＞4b²=4（c²-a²），即c²＜$\frac{4}{3}$a²，
雙曲線 C₁ 的離心率e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由e＞1，
∴雙曲線 C₁ 的離心率的范圍（1，$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），
故選A．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．