Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin（πx-$\frac{π}{3}$），若函數(shù)y=f（asinx+1），x∈R沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 由f（x）沒有零點求得x的范圍，再根據(jù)f（asinx+1）沒有零點可得asinx+1的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，分類討論求得a的范圍．

解答 解：若函數(shù)f（x）=sin（πx-$\frac{π}{3}$）=sinπ（x-$\frac{1}{3}$）沒有零點，
故0＜（x-$\frac{1}{3}$）π＜π，或-π＜（x-$\frac{1}{3}$）π＜0，
即 0＜（x-$\frac{1}{3}$）＜1，或-1＜（x-$\frac{1}{3}$）＜0，
即$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{4}{3}$ 或-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$．
由于函數(shù)y=f（asinx+1），x∈R沒有零點，則$\frac{1}{3}$＜asinx+1＜$\frac{4}{3}$，或-$\frac{2}{3}$＜asinx+1＜$\frac{1}{3}$，
當a＞0時，∵1-a≤asinx+1≤1+a，$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞\frac{1}{3}}\\{1+a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞-\frac{2}{3}}\\{1+a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$．
當a＜0時，1+a≤asinx+1≤1-a，∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a＞\frac{1}{3}}\\{1-a＜\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{1+a＞-\frac{2}{3}}\\{1-a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
求得-$\frac{1}{3}$＜a＜0．
當a=0時，函數(shù)y=f（asinx+1）=f（1）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$≠0，滿足條件．
綜上可得，a的范圍為（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
故答案為：（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的零點的定義，屬于中檔題．