Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

，分情況討論：a≤0時(shí)易求單調(diào)區(qū)間；a＞0時(shí)在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx=-

2

3

x³+

1

2

x2+lnx，設(shè)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x2-lnx，只證g（x）＞0即可，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（x）＞g（1）=0，得到結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）依題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=x-

a

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=x-

a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
令f′（x）＞0，得x＞

a

，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

a

，+∞）；
令f′（x）＜0，得0＜x＜

a

，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

a

）．
（Ⅱ）f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx=-

2

3

x³+

1

2

x2+lnx，
設(shè)g（x）=

2

3

x³-

1

2

x2-lnx，則g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）-

2

3

x³+（a+1）lnx＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵．