Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

5

3

，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓C的左、右焦點，點P（

3

2

，m）是橢圓上一點，且

PF1

•

PF2

=

1

4

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（2，0）的直線交橢圓C于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，設(shè)

OM

=

OA

+

OB

，且|

OM

|=|

AB

|，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運算,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0）、F₂（c，0），求出向量PF₁，PF₂，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，再由離心率得到方程，和點P在橢圓上，得到方程，解出方程組，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）由設(shè)

OM

=

OA

+

OB

，且|

OM

|=|

AB

|，得到

OA

•

OB

=0，討論直線l的斜率不存在，不成立，再設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立橢圓方程，去掉y得到x的方程，運用韋達定理，再求y₁y₂，由向量垂直的坐標(biāo)表示，得到方程，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0）、F₂（c，0），則

PF1

=（-c-

3

2

，-m），

PF2

=（c-

3

2

，-m），
因為

PF1

•

PF2

=

1

4

，所以

9

4

-c²+m²=

1

4

，即m²=c²-2，…①
由橢圓的離心率為

5

3

，所以

c

a

=

5

3

 …②
又點P（

3

2

，m）在橢圓上，所以

9

4a2

+

m2

b2

=1…③
由①②③解得a²=9，c²=5，m²=3，b²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）因為設(shè)

OM

=

OA

+

OB

，所以四邊形OAMB為平行四邊形，
又因為且|

OM

|=|

AB

|，所以四邊形OAMB為矩形，所以

OA

•

OB

=0，
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2
由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

得

x=2 y=± 2 5 3

，
此時

OA

•

OB

=

16

9

＞0與

OA

•

OB

=0矛盾，
 故直線l的斜率存在且不為零．
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0    
所以x₁+x₂=

36k2

9k2+4

，x₁x₂=

36(k2-1)

9k2+4

…①
y₁y₂=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-

20k2

9k2+4

 …②
由

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0得k=±

3

2

，
故所求直線l的方程為y=±

3

2

（x-2）
即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程消去未知數(shù)，運用韋達定理，同時考查向量的垂直和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的平行四邊形法則，考查化簡運算能力，屬于中檔題．