Question

（本小題滿分14分）

（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)＝，∈R

（1）若＝為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；

（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對任意的（0,3]，恒有≤4成立.

注：為自然對數(shù)的底數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1） 或；（2）.

【解析】第一問利用導(dǎo)數(shù)在＝為的極值點(diǎn)，先求導(dǎo)，然后在x=e處的導(dǎo)數(shù)值為零得到a的值。

第二問中，要是對任意的（0,3]，恒有≤4成立，只需求解函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間（0,3]的最大值小于等于4即可。

解:(1)求導(dǎo)得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).（2分）

 因?yàn)閤=e是f(x)的極值點(diǎn)，所以f’(e)= ，（3分）

解得 或，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以 或。（4分）

（2）解:①當(dāng)時(shí)，對于任意的實(shí)數(shù)a,恒有成立，（6分）

    ②當(dāng)，由題意，首先有，

     解得             （7分）

由（Ⅰ）知，，

則，，

 且

=。               （8分）

又在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有唯一零

點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則，。從而，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)

單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。     （10分）

所以要使對恒成立，只要

        成立。

，知（3）

將（3）代入（1）得，                   （12分）

又，注意到函數(shù)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故。

再由（3）以及函數(shù)2xlnx+x在（1.+ +∞)內(nèi)單調(diào)遞增，可得。

由（2）解得，。

所以

綜上，a的取值范圍為。                （14分）