Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1且滿足S_n+1-2S_n=n+1（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1-2S_n=n+1（n∈N^*），
∴a_n+1=S_n+n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+n，
∴a_n+1-a_n=a_n+1，
化為：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）na_n=n•2ⁿ-n．
設(shè)數(shù)列{n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和為A_n．
則A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²++…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．