Question

在非等腰△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足

2c-b

2b-c

=

cosB

cosC

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，求△ABC的面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）解法一，利用余弦定理化簡表達(dá)式為三角形的邊的關(guān)系，然后利用余弦定理求出角A的大��；
解法二，化簡表達(dá)式，利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，求出cos(C+B)=-

1

2

，即可求解A的大�。�
（2）a=4，通過余弦定理求出bc的最大值，然后求△ABC的面積的取值范圍．

解答： 解：（1）解法一：由余弦定理可知：

2c-b

2b-c

=

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

，去分母可得：c（2c-b）[a²+（b²-c²）]=b（2b-c）[a²-（b²-c²）]
即：2a²（b²-c²）]=（c²-b²）（2bc-2b²-2c²）
因?yàn)槿�角形為非等腰三角形，故（b²-c²）≠0，
故a²=b²+c²-bc，即cosA=

1

2

，A=60°
解法二：因?yàn)椋?c-b）cosC=（2b-c）cosB，
所以（2sinC-sinB）cosC=（2sinB-sinC）cosB，
則sin2C-sin2B=sin（B-C），…（2分）
所以sin[（B+C）-（B-C）]-sin[（B+C）+（B-C）]=sin（B-C）2cos（C+B）sin（C-B）=sin（B-C）．
因?yàn)椤鰽BC不是等腰三角形，所以sin（B-C）≠0，
則cos(C+B)=-

1

2

，所以C+B=120°，因此A=60°．…（4分）
（2）根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，有16=b²+c²-bc…（5分）
因?yàn)閎²+c²≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時不等式取等號）
所以16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤16，…（6分）
所以△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤4

3

，
且當(dāng)a=b=c=4時等號取到，又因?yàn)椤鰽BC不是等腰三角形，所以S＜4

3

；
又顯然S＞0，所以△ABC的面積的取值范圍是(0，4

3

)．…（8分）

點(diǎn)評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計算能力．