Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y+2=0，是否存在滿足以下兩個條件的直線l：
（1）斜率為1；
（2）直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C₁過原點．若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：設直線l存在，其方程為y=x+b，它與圓C的交點設為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x2+y2-2x+4y+2=0 y=x+b

，得2x²+2（b+1）x+b²+4b+2=0，由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此利用韋達定理能推導出存在這樣的直線l，并能求出其方程．

解答：（本小題滿分15分）
解：設直線l存在，其方程為y=x+b，它與圓C的交點設為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（2分）
則由

x2+y2-2x+4y+2=0 y=x+b

，
得2x²+2（b+1）x+b²+4b+2=0（*）（4分）
∴

x1+x2=-(b+1) x1•x2= b2+4b+2 2

（6分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2（8分）
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，（11分）
即b²+4b+2-b（b+1）+b²=0，b²+3b+2=0，
∴b=-1或b=-2（13分）
容易驗證b=-1或b=-2時方程（*）有實根．（14分）
故存在這樣的直線l有兩條，其方程是y=x-1或y=x-2．（15分）

點評：本題考查直線方程的求法，具體涉及到直線方程的性質、圓的簡單性質、韋達定理等基本知識點，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．