Question

設p：實數x滿足（x-3a）（x-a）＜0，其中a＞0，q：實數x滿足

x2-3x≤0 x2-x-2＞0

（1）當a=1，p且q為真時，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（1）當a=1，p且q為真時，則p，q同時為真，建立條件即可求實數x的取值范圍；
（2）利用?p是?q的充分不必要條件，轉化為q是p的充分不必要條件，建立條件關系即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，p：1＜x＜3，q：2＜x≤3，
∵p且q為真，
∴p，q同時為真，即x滿足

2＜x≤3 1＜x＜3

，
即2＜x＜3．
（2）∵￢p是￢q的充分不必要條件知，
∴q是p的充分不必要條件，
由p知，即A={x|a＜x＜3a，a＞0}，
由q知，B={x|2＜x≤3}
∴B?A，
∴a≤2且3＜3a，解得1＜a≤2
即實數a的取值范圍是（1，2]．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用復合命題之間的關系是解決本題的關鍵．