Question

已知命題p：“橢圓

x2

k-1

+

y2

3-k

=1的焦點(diǎn)在x軸上”；命題q：“對(duì)于任意的x，不等式x²-kx+k＞0恒成立”；若命題p∧q為假命題，￢q為假命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先，求解當(dāng)命題p為真命題時(shí)，2＜k＜3，當(dāng)命題q為真命題時(shí)，0＜k＜4，然后，結(jié)合命題p∧q為假命題，￢q為假命題，得到命題p為假命題、命題q為真命題，然后，求解其范圍即可．

解答： 解：對(duì)于命題p，∵橢圓

x2

k-1

+

y2

3-k

=1的焦點(diǎn)在x軸上，
∴

k-1＞0 3-k＞0 k-1＞3-k

，解得：2＜k＜3，…（4分）
故當(dāng)命題p為真命題時(shí)，2＜k＜3，
對(duì)于命題q，∵對(duì)于任意的x，不等式x²-kx+k＞0恒成立，
∴只需△=（-k）²-4k＜0，解得：0＜k＜4，…（8分）
故當(dāng)命題q為真命題時(shí)，0＜k＜4，
因?yàn)槊�題p∧q為假命題，￢q為假命題，
所以命題p為假命題、命題q為真命題，即“p假q真”…（10分）
則

k≤2或k≥3 0＜k＜4

，解得0＜k≤2或3≤k＜4； …（13分）
故所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（0，2]∪[3，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了命題的真假判斷、復(fù)合命題的真值表等知識(shí)，屬于中檔題．