【題目】如圖1,△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°,AC=2a,E,F(xiàn)分別為AC,BC的中點(diǎn),沿EF將△CEF折起,得到如圖2所示的四棱錐C′﹣ABFE
(1)求證:AB⊥平面AEC′;
(2)當(dāng)四棱錐C′﹣ABFE體積取最大值時(shí),
①若G為BC′中點(diǎn),求異面直線GF與AC′所成角;
②在C′﹣ABFE中AE交BF于C,求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值.

【答案】
(1)解:證明:因?yàn)椤鰽BC 是等腰直角三角形,∠CAB=90°,E,F(xiàn) 分別為AC,BC 的中點(diǎn),

所以EF⊥AE,EF⊥C'E.

又因?yàn)锳E∩C'E=E,所以EF⊥平面AEC'.

由于EF∥AB,所以有AB⊥平面AEC'.


(2)解:①取AC'中點(diǎn)D,連接DE,EF,F(xiàn)G,GD,

由于GD 為△ABC'中位線,以及EF 為△ABC 中位線,

所以四邊形DEFG 為平行四邊形.

直線GF 與AC'所成角就是DE 與AC'所成角.

所以四棱錐C'﹣ABFE 體積取最大值時(shí),C'E 垂直于底面ABFE.

此時(shí)△AEC'為等腰直角三角形,

ED 為中線,所以直線ED⊥AC'.

又因?yàn)镋D∥GF,所以直線GF 與AC'所成角為

② 因?yàn)樗睦忮FC'﹣ABFE 體積取最大值,

分別以EA、EF、EC'所在直線為x 軸、y 軸、z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則C'(0,0,a),B(a,2a,0),F(xiàn)(0,a,0),C'B(a,2a,﹣a),C'F(0,a,﹣a).

設(shè)平面C'BF 的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),

得,取y=1,得 =(﹣1,1,1).

平面C'AE 的一個(gè)法向量 =(0,1,0).

所以cos< >= =

故平面C'AE與平面C'BF的平面角的夾角的余弦值為


【解析】(1)推導(dǎo)出EF⊥AE,EF⊥C'E,從而EF⊥平面AEC',由此能證明AB⊥平面AEC'.(2)①取AC'中點(diǎn)D,連接DE,EF,F(xiàn)G,GD,推導(dǎo)出四邊形DEFG 為平行四邊形,直線GF 與AC'所成角就是DE 與AC'所成角,由此能求出直線GF 與AC'所成角.②分別以EA、EF、EC'所在直線為x 軸、y 軸、z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面C'AE與平面C'BF的平面角的夾角的余弦值.

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