Question

（（本小題滿分14分）

已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，

求面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為，

所以，                                      ……………1分

又橢圓的離心率為，即，所以，        ………………2分

所以，.                                        ………………4分

所以，橢圓的方程為.                      ………………5分

（Ⅱ）方法一：不妨設(shè)的方程，則的方程為.

由得，            ………………6分

設(shè)，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052220233665624993/SYS201205222025472500149748_DA.files/image019.png">，所以， …………7分

同理可得，                                     ………………8分

所以，，        ………………10分

，                      ………………12分

設(shè)，則，      ………………13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.     ………………14分

方法二：不妨設(shè)直線的方程.

由 消去得，       ………………6分

設(shè)，，

則有，.    ①                  ………………7分

因?yàn)橐?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052220233665624993/SYS201205222025472500149748_DA.files/image030.png">為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以 .

由 ，

得 .                                ………………8分

將代入上式，

得 .

將 ① 代入上式，解得 或（舍）.                ………………10分

所以（此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)），

所以

.    ……………12分

設(shè)，

則.

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.                 ……………14分

 

【解析】略