Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足條件f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列命題，其中正確的是

①④

（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（2）f（2）=f（0）；
（3）f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
（4）f（x）在[1，2]上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函數(shù)的定義求出函數(shù)周期性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，可判斷①的真假；
根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上對(duì)稱性相反，結(jié)合已知f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，可判斷②的真假；
由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），根據(jù)函數(shù)的周期性及②中結(jié)論，可判斷③的真假；
由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），根據(jù)函數(shù)的周期性，可判斷④的真假；

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），故f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
又由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x），
即f（x+2）=f（-x），故f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故①正確；
∵偶函數(shù)f（x）在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
∵f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，且f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f（2）=f（0），故④正確；
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性，其中熟練掌握周期函數(shù)在對(duì)應(yīng)周期上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反等性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．