Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）若f（-1）=0且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，可得

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，從而可求出a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]時(shí)是單調(diào)函數(shù)，可得[-2，2]?(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞)，從而得出2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，解之即可得出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]時(shí)是單調(diào)函數(shù)，
∴[-2，2]?(-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞)
∴2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，難度一般，關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．