Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a為實數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：2f（x2）﹣x1＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， = ．

①當a﹣1≥0時，即a≥1時，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；

②當0＜a＜1時，由f'（x）=0得 ， ，

故f（x）在（﹣1，﹣ ）上單調遞增，在（﹣ ， ）上單調遞減，

在（ ，+∞）上單調遞增；

③當a＜0時，由f'（x）=0得x1= ，x2=﹣ （舍）

f（x）在（﹣1， ）上單調遞減，在（ ，+∞）上單調遞增．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，則0＜a＜1， ， ，

∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），

要證2f（x2）﹣x1＞0f（x2）+ x2＞0aln（x2+1）+ ﹣ x2＞0（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，

令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），

∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，

∴g（x）在（0，1）遞增，

∴g（x）＞g（0）=0，

∴命題得證．

【解析】（Ⅰ）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負研究函數(shù)f（x）的單調性；（Ⅱ）所證問題轉化為（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．