Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：2f（x2）﹣x1＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）， = ．

①當(dāng)a﹣1≥0時(shí)，即a≥1時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得 ， ，

故f（x）在（﹣1，﹣ ）上單調(diào)遞增，在（﹣ ， ）上單調(diào)遞減，

在（ ，+∞）上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0得x1= ，x2=﹣ （舍）

f（x）在（﹣1， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，則0＜a＜1， ， ，

∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），

要證2f（x2）﹣x1＞0f（x2）+ x2＞0aln（x2+1）+ ﹣ x2＞0（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，

令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），

∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，

∴g（x）在（0，1）遞增，

∴g（x）＞g（0）=0，

∴命題得證．

【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）所證問題轉(zhuǎn)化為（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．