已知二階矩陣M=
a1
3b
的特征值λ=-1所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量
e1
=
1
-3
．
（1）求矩陣M；
（2）設(shè)曲線C在變換矩陣M作用下得到的曲線C′的方程為xy=1，求曲線C的方程．
考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算
專題：矩陣和變換
分析：本題（1）可以利用矩陣的特征值和特征向量的意義列出相應(yīng)的方程，解方程得到本題結(jié)論；（2）根據(jù)矩陣變換下相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用代入法求出曲線的方程，得到本題結(jié)論．
解答： 解：（1）依題意，得
a1
3b
1
-3
=
-1
3
，
即
a-3=-1
3-3b=3
，解得
a=2
b=0
，
∴M=
21
30
；
（2）設(shè)曲線C上一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M的作用下得到曲線xy=1上一點(diǎn)P′（x′，y′），
則
x′
y′
=
21
30
x
y
，即
x′=2x+y
y′=3x
，
∴x′y′=1，
∴（2x+y）×（3x）=1，
整理得曲線C的方程為6x2+3xy=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩陣的特征值和特征向量，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求圓（x-1）2+（y+2）2=4上的一點(diǎn)Q到點(diǎn)P（-
4
5
，
2
5
）的最短距離及這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1與圓C2：x2+y2=1，在下列說(shuō)法中：
①對(duì)于任意的θ，圓C1與圓C2始終相切；
②對(duì)于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
③直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C2一定相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)；
④P，Q分別為圓C1與圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最大值為4．
其中正確命題的序號(hào)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的一個(gè)小區(qū)前面建了一個(gè)弓形景觀湖，如圖，該弓形所在的圓是以AB為直徑的圓，已知AB=300m，CD與AB平行且它們之間的距離為50
2
m，開發(fā)商計(jì)劃從A點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋與地面和湖面均平行），為了使小區(qū)居民可以充分的欣賞湖景，所以要將湖面上的景觀橋PQ的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng)．
（1）記∠AOP=2θ，試用θ表示線段PQ；
（2）求PQ的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，l表示三條不同的直線，α，β，γ表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：
①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，則α∥γ；、
②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；
③若α⊥β，α∩β=a，b?β，a⊥b，則b⊥α；
④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，則l⊥α．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，M（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點(diǎn)，且|MF|=5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M引出斜率分別為k1，k2的兩直線l1，l2，l1與拋物線C的另一交點(diǎn)為A，l2與拋物線C的另一交點(diǎn)為B，記直線AB的斜率為k3．
（�。┤鬹1+k2=0，試求k3的值；
（ⅱ）證明：
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=ex+2ax（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線x-y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x2；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）-ex+
1
3
x3+mx2+1，若F（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且g（x）≠0，當(dāng)x＜0時(shí)f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（-3）=0，則不等式
f(x)
g(x)
＜0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2
x
2
-sin2
x
2
-sinx．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x0∈（0，
π
4
）且f（x0）=
4
2
5
時(shí)，求f（x0+
π
4
）的值．

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