Question

已知點F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，M（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點，且|MF|=5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）過點M引出斜率分別為k₁，k₂的兩直線l₁，l₂，l₁與拋物線C的另一交點為A，l₂與拋物線C的另一交點為B，記直線AB的斜率為k₃．
（ⅰ）若k₁+k₂=0，試求k₃的值；
（ⅱ）證明：

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）方法一：利用焦半徑公式求出p，得到拋物線方程，又M（4，t）（t＞0）在拋物線C上，
求出M的坐標(biāo)．
方法二：通過M（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點，得到t、p關(guān)系式利用|MF|=5，
得到另一個關(guān)系式，聯(lián)立解得p，t，即可得到拋物線C的方程，點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線l₁：y-4=k₁（x-4），l₁與拋物線C交于M、A兩點，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求出A的坐標(biāo)，討論推出B的坐標(biāo)即可求解AB的斜率．
（ⅱ）由（�。┣蟪鰇₃，然后計算

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

=2，即可證明：

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

為定值．

解答： 滿分（13分）．
解：（Ⅰ）方法一：∵|MF|=5=4+

p

2

，∴p=2，…（2分）
∴拋物線C：y²=4x．…（3分）
又M（4，t）（t＞0）在拋物線C上，
∴t²=4×4=16⇒t=4．∴M（4，4）．…（4分）
方法二：∵M(jìn)（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點，∴t²=8p…①．…（1分）
∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F坐標(biāo)為(

p

2

，0)，且|MF|=5，
∴(4-

p

2

)2+t2=25…②． …（3分）
聯(lián)立①②解得p=2，t=4（t＞0），
∴拋物線C的方程為y²=4x，點M的坐標(biāo)為（4，4）．…（4分）
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線l₁：y-4=k₁（x-4），
∵l₁與拋物線C交于M、A兩點，∴k₁≠0．…（5分）
由

y-4=k1(x-4) y2=4x

得：k1y2-4y+16-16k1=0，…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），則

y1+4= 4 k1 y1•4= 16-16k1 k1

，…（7分）
∴y1=

4-4k1

k1

，x1=

4(1-k1)2

k12

，即A(

4(1-k1)2

k12

，

4-4k1

k1

)．…（8分）
同理可得B(

4(1-k2)2

k22

，

4-4k2

k2

)．…（9分）
∵k₁+k₂=0，∴k₂=-k₁，B(

4(1+k1)2

k12

，

4+4k1

-k1

)．
∴k3=kAB=

4-4k1 k1 - 4+4k1 -k1

4(1-k1)2-4(1+k1)2 k12

=-

1

2

．…（10分）
（ⅱ）證明：由（�。┛芍�

k3= 4-4k1 k1 - 4-4k2 k2 4(1-k1)2 k 2 1 - 4(1-k2)2 k22 = k1k2(k2-k1) (k1+k2-2k1k2)(k2-k1) .

=

k1k2

k1+k2-2k1k2

=

1

1 k1 + 1 k2 -2

．
∴

1

k3

=

1

k1

+

1

k2

-2，
∴

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

=2，
即證得

1

k1

+

1

k2

-

1

k3

為定值．…（13分）

點評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等．