已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
①定義域?yàn)椋?1，1）；
②對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），均有；
③當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）∈M，證明：y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)，判斷是否有h（x）∈M，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且，求函數(shù)的所有零點(diǎn)．
【答案】分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的定義可得y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，并驗(yàn)證條件①②③是否成立，進(jìn)而根據(jù)集合M的定義判斷h（x）∈M是否成立；
（III）根據(jù)已知分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以分析出函數(shù)在定義域上至多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合可求出該零點(diǎn)．
解答：證明：（I）若函數(shù)f（x）∈M，
則函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
令x=y=O，則由得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），滿足條件①
且==
==
故h（x）+h（y）=，滿足條件②
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，，此時(shí)h（x）＞0，滿足條件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，則x-y＜0，1-xy＞0，則
由及（1）可得
又∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0
∴＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，故函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)
∵，∴
又∵當(dāng)x=y=2-時(shí)，
∴，此時(shí)=0
故函數(shù)的零點(diǎn)為2-
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，同時(shí)又有一個(gè)比較難理解的新定義集合M，且（III）中函數(shù)零點(diǎn)的求法難度也比較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8、已知集合M={f（x）|f（-x）=f（x），x∈R}；N={f（x）|f（-x）=-f（x），x∈R}；P={f（x）|f（1-x）=f（1+x），x∈R}；Q={f（x）|f（1-x）=-f（1+x），x∈R}；若f（x）=（x-1）3，x∈R，則下列關(guān)系中正確的序列號(hào)為：
④

①f（x）∈M②f（x）∈N③f（x）∈P④f（x）∈Q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命題：
①若f1(x)=
1，x≥0
-1，x＜0
則f1（x）∈M；
②若f2（x）=sinx，則f2（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④若f（x）∈M，則對(duì)任意不等的實(shí)數(shù)x1、x2，總有
f1(x)-f2(x)
x1-x2
＜0；
⑤若f（x）∈M，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1、x2，總有f(
x1+x2
2
)≤
f1(x)+f2(x)
2
．
其中是正確的命題有
 
．（寫出所有正確命題的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•南充三模）已知集合M={f（x）|f2（x）-f2（y）=f（x+y）•f（x-y），x，y∈R}，有下列命題
①若f1（x）=
1，x≥0
-1，x＜0
則f1（x）∈M；
②若f2（x）=2x，則f2（x）∈M；
③若f3（x）∈M，則y=f3（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④若f4（x）∈M則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù)x1，x2，總有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
＜0成立．
其中所有正確命題的序號(hào)是
②③
②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合M={f（x）|在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立}．
（1）函數(shù)f（x）=
1
x
是否屬于集合M？說(shuō)明理由．
（2）證明：函數(shù)f（x）=2x+x2∈M．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=lg
a
2x+1
∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•上海模擬）已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，g(x)=sin
πx3
．
（1）判斷g（x）與M的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函數(shù)，證明你的結(jié)論；
（3）M中的元素是否都是奇函數(shù)，證明你的結(jié)論．

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