(2013•南充三模)已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),x,y∈R},有下列命題
①若f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
則f1(x)∈M;
②若f2(x)=2x,則f2(x)∈M;
③若f3(x)∈M,則y=f3(x)的圖象關(guān)于原點對稱;
④若f4(x)∈M則對于任意不等的實數(shù)x1,x2,總有
f4(x1)-f4(x2)
x1-x2
<0成立.
其中所有正確命題的序號是
②③
②③
分析:①②可驗證時否符合集合的公共屬性;③證明是奇函數(shù)④可用特例來否定是減函數(shù).
解答:解:①當(dāng)f1(x)=
1,x≥0
-1,x<0
時可計算f2(x)-f2(y)與f(x+y)•f(x-y)不恒等.
②當(dāng)f(x)=2x時,f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y)成立.
③令x=y=0,得f(0)=0
令x=0,則由f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y)得:
f(y)•f(-y)=-f2(y)
所以f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱.
④如函數(shù)f(x)滿足條件:f2(x)-f2(y)=f(x+y)•f(x-y),但在定義域上是增函數(shù)
故只有②③正確
故答案為:②③
點評:本題主要考查元素與集合的關(guān)系及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷.另外在解客觀題時可用特殊法,提高解題效率.
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